Дифференциальные уравнения Примеры решения задач

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Если правая часть стандартного уравнения  имеет вид

-P(x)×y+Q(x), где P(x), Q(x) некоторые функции, зависящие только от x, или просто константы, то такое дифференциальное уравнение называется линейным (y, y’ входят в него в первой степени). Перенесем члены, содержащие y в левую часть. Тогда уравнение  примет вид

. (2.1)

  Для решения уравнения (2.1) используют замену (метод Бернулли)

,  y’=u’v+uv’, (2.2)

где  и  – новые неизвестные функции переменной . Тогда уравнение (2.1) примет вид

.  (2.3)

Далее найдем функцию v=v(x) так, чтобы скобка в уравнении (2.3) обратилась в 0. Для этого надо просто решить уравнение v’+P(x)v=0, которое, очевидно, является уравнением с разделяющимися переменными. Подставляя найденное v(x) в уравнение (2.3), получаем очень простое дифференциальное уравнение

u’v(x)=Q(x), решением которого является функция .

 Вспоминая, что y=uv, мы получаем окончательный ответ y=uv=(U(x)+C)v(x).

 Пример. Решить уравнение   

 Решение. Это линейное дифференциальное уравнение, которое будем решать с помощью замены (2.2). В результате исходное уравнение примет вид:

  (*)

Найдем функцию , приравнивая нулю выражение в скобках:  Относительно функции  это уравнение с разделяющимися переменными. Заменяя производную функции  и разделяя переменные, приходим к уравнению   Интегрируя, имеем: . То есть 

. Тогда u’v(x)+u(v’(x)-v(x))=u’ex+( ex- ex)=u’ ex. Поэтому уравнение (*) превращается в u’ ex= e2x или   откуда  Так как , то окончательно получаем .

  Пример. Найти частное решение уравнения  удовлетворяющее начальному условию   

 Решение. Поскольку данное уравнение является линейным, полагаем   и, следовательно,  Подставляя выражения  и  в исходное уравнение, получаем

  (2.4)

Выберем  так, чтобы  или  откуда

 

 Подставив выражение  в уравнение (2.4), для определения  получаем уравнение  или  откуда  т.е.

  Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

  Теперь, используя начальные условия , находим С. Имеем 

  откуда  Следовательно, частное решение нашего уравнения имеет вид

  или 

 Уравнение вида y’+P(x)×y+Q(x)yk=0 называется уравнением Бернулли. Так же как и линейное уравнение, оно сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными с помощью замены y=uv, y’=u’v+uv’. При этом дальнейший ход решения, аналогичен ходу решения линейного уравнения. Поэтому мы не будем на нем останавливаться.

Уравнения с однородной правой частью

 Пусть правая часть f(x,y) стандартного уравнения y’=f(x,y) удовлетворяет тождеству

f (kx, ky) º f (x,y), (3.1)

верному при всех k. Тогда такое дифференциальное уравнение называется уравнение с однородной правой частью, или просто однородное уравнение.

  Такое уравнение следует решать с помощью замены y=ux, y’=u’x+u, где u=u(x) – новая неизвестная функция. Выполнив замену, мы получим дифференциальное уравнение u’x+u=f(x,ux) из которого теперь надо найти u.

Оказывается, что это уравнение всегда будет уравнением с разделяющимися переменными. Решая его, мы найдем u=U(x,C), откуда y=ux=U(x,C).

Пример. Рассмотрим уравнение 2x2y’=x2+y2. После приведения к стандартному виду имеем , откуда .

Проверим, что для функции f(x,y) выполнено тождество (3.1). Действительно,

.

Таким образом, наше уравнение есть уравнение с однородной правой частью и для его решения делаем замену y=ux, y’=u’x+u. В результате возникает дифференциальное уравнение , из которого надо найти u. Приводя это уравнение к стандартному виду, получаем . Это уравнение с разделяющимися переменными, решая которое получаем . В результате после интегрирования  получаем  или . Окончательно получаем: . Следовательно, .

Математика Примеры решения задач