Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Теоремы о пределах.

    Пусть  и  - функции, для которых существуют пределы при   (или при ): , .

    Сформулируем основные теоремы о пределах.

    Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, то есть

    .

    Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, то есть

    .

    В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

    Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), то есть

    .

    Если , то предел сложной функции f[(x)] равен

    .

    Теорема о переходе к пределу в неравенстве.

     Если в некоторой окрестности точки  

     , то .

     Теорема о пределе промежуточной функции.

    Если в некоторой окрестности точки  функция  заключена между двумя функциями  и , имеющими одинаковый предел - число ,

      то функция  имеет тот же предел ,

     то есть, если

      и ,

    то

    Замечательные пределы

    Можно доказать, что при  функции sinx и x являются эквивалентными бесконечно малыми функциями: ,

     то есть имеет место предел

    ,

      который называют первым замечательным пределом.

    Доказательство. Рассмотрим круг радиуса  с центром в точке . Пусть  - подвижный радиус, образующий угол   с осью .

     


    Из геометрических соображений следует, что площадь треугольника   меньше площади сектора , которая в свою очередь меньше площади прямоугольника , то есть .

    Так как , , , то имеем

    ,

      откуда, разделив все части двойного неравенства на , получим  или .

    Переходя к пределу при , получим .

    На основании теоремы о пределе промежуточной функции, получим .

    Замечание 1. Так как функции  и  четные, то полученные неравенства справедливы и при .

    Замечание 2. Итак, мы показали, что sinx и x являются эквивалентными бесконечно малыми функциями: 

    .

    Можно показать, что эквивалентными бесконечно малыми функциями также будут

    На практике, при решении задач часто используют следующее правило:

     при вычислении пределов произведения функций одну бесконечно малую функцию можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией в этой же точке ( см. примеры 6d, 11. в п.2.1.11.)

    Пример 9.

    Вычислить:

    а) ; b) ; d) .

    Решение:

    а) ;

    б) .

    d) используя бесконечно малые функции при x ®0

     , получим

    .

    Вторым замечательным пределом называют

    или

      ,

    где число e = 2.71828… - иррациональное число, называемое неперовым числом, так как найдено Непером в XVII веке. Число e находит применение в математическом анализе, является основанием натуральных логарифмов.

     График функции  получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом .

    Пример 10. Найти: а) ; б) .

    Решение.

    а) ;

    б) .

    Математика Примеры решения задач