Введение в математический анализ

Теоремы о пределах.

Пусть  и  - функции, для которых существуют пределы при   (или при ): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах.

Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, то есть

.

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, то есть

.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), то есть

.

Если , то предел сложной функции f[(x)] равен

.

Теорема о переходе к пределу в неравенстве.

 Если в некоторой окрестности точки  

 , то .

 Теорема о пределе промежуточной функции.

Если в некоторой окрестности точки  функция  заключена между двумя функциями  и , имеющими одинаковый предел - число ,

  то функция  имеет тот же предел ,

 то есть, если

  и ,

то

Замечательные пределы

Можно доказать, что при  функции sinx и x являются эквивалентными бесконечно малыми функциями: ,

 то есть имеет место предел

,

  который называют первым замечательным пределом.

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса  с центром в точке . Пусть  - подвижный радиус, образующий угол   с осью .

 


Из геометрических соображений следует, что площадь треугольника   меньше площади сектора , которая в свою очередь меньше площади прямоугольника , то есть .

Так как , , , то имеем

,

  откуда, разделив все части двойного неравенства на , получим  или .

Переходя к пределу при , получим .

На основании теоремы о пределе промежуточной функции, получим .

Замечание 1. Так как функции  и  четные, то полученные неравенства справедливы и при .

Замечание 2. Итак, мы показали, что sinx и x являются эквивалентными бесконечно малыми функциями: 

.

Можно показать, что эквивалентными бесконечно малыми функциями также будут

На практике, при решении задач часто используют следующее правило:

 при вычислении пределов произведения функций одну бесконечно малую функцию можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией в этой же точке ( см. примеры 6d, 11. в п.2.1.11.)

Пример 9.

Вычислить:

а) ; b) ; d) .

Решение:

а) ;

б) .

d) используя бесконечно малые функции при x ®0

 , получим

.

Вторым замечательным пределом называют

или

  ,

где число e = 2.71828… - иррациональное число, называемое неперовым числом, так как найдено Непером в XVII веке. Число e находит применение в математическом анализе, является основанием натуральных логарифмов.

 График функции  получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом .

Пример 10. Найти: а) ; б) .

Решение.

а) ;

б) .

Математика Примеры решения задач