Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Односторонние пределы функции одной переменной.

    Теорема существования предела

    Предел функции  при  называется левосторонним и обозначается

    ,

      если точка  остается все время слева от , что означает выполнение неравенства .

    Аналогично определяется и обозначается правосторонний предел:

    Теорема о существовании предела.

    Функция  имеет в точке  предел, равный , тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы в точке , и они равны между собой и равны числу .

    Запишем кратко данную теорему:

    , тогда и только тогда, когда

    ;

    .

    Бесконечно малые функции, их классификация

    Важное значение в дальнейшем имеют функции, пределы которых в точках равны нулю.

    Функция  называется бесконечно малой в точке , если .

    Используя определение предела функцию, можно записать:

      называется бесконечно малой в точке , если для , что для , как только , выполняется .

    Например:

    функция  в точке  является бесконечно малой, так как

    функция  при  является бесконечно малой, действительно

    Классификация бесконечно малых функций

    Если , причем  и то  и  называются бесконечно малыми одного порядка малости (скорости приближения  и  к нулю являются почти равными).

    Если , то  - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем  ( приближается к нулю быстрее, чем ). Обозначают .

    Если, то  и  называются эквивалентными бесконечно малыми в окрестности точки М0 ( и  приближаются к 0 с одной скоростью). Обозначают:   ~ .

    Отметим следующие свойства бесконечно малых величин:

    Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

    Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

    частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

    Бесконечно большие функции одной переменной, их связь с бесконечно малыми.

    Рассмотрим функцию , определенную на множество ,  - предельная точка множества .

     Функция  называется бесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число  (зависящее от , что для всех , не равных  и удовлетворяющих условию , будет верно неравенство .

    Запись того, что функция  бесконечно большая при , следующая:

    или  при .

    Краткая запись этого определения:

    функция  бесконечно большая при , если для

    , что ;  выполняется

    Упражнение 1. Запишите определение предела функции, если .

    Упражнение 2. Запишите определение предела функции, если .

    Пример 7. Изобразите графически следующие пределы:


    Для бесконечно больших функций имеют место следующие свойства.

    Если  и , ( , ), тогда

    если , то

    Связь между бесконечно малой и бесконечно большой  функциями отметим в следующем свойстве:

    если функция  есть бесконечно малая величина при  , то функция  является бесконечно большой при   .

     И обратно, если функция  бесконечно большая при  , то функция  есть величина бесконечно малая при  .

     То есть, если , то  

    и наоборот, если , то .

     Например,  является бесконечно малой при , тогда , то есть является бесконечно большой при .

    Пример 8. Вычислить .

    Решение:

    функция  является бесконечно большой при .

    Предел функции  равен .

    Согласно свойству 1)

    , имеем .

    Математика Примеры решения задач