Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Предел функции в точке

    Предел функции – фундаментальное понятие в математическом анализе, с его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.

    Пусть функция  определена на некотором множестве .

      – фиксированная точка,

    Говорят, что  есть предельная точка множества , если в любой окрестности этой точки содержится бесконечное множество точек .

    Для функции одной переменной  в разделе 2.1.1. была определена  - окрестность точки  - это интервал , то есть все , удовлетворяющие неравенству .

     

     

     

    Для функции двух переменных

    - окрестность точки  - это круг радиуса  с центом в точке ; обозначают , в координатах можно записать  

     



    Для функции трех переменных  это шар радиуса  с центром в точке  

    ; обозначают  - окрестность, аналогично .

    Для функции большего числа аргументов окрестность точки  аналитически можно определить аналогичным образом:

    Во всех случаях  - главный параметр, определяющий размеры окрестности точки , поэтому эти окрестности называют - окрестностями точки.

    Замечание. Предельная точка  множеству  может, как принадлежать, так и не принадлежать. Например, для множества  предельными точками являются

    , очевидно, что

    , очевидно, что

    , которое также не принадлежит ,

    В математическом анализе часто используются символы математической логики:

      - квантор общности, используется вместо слова «любой»

      - квантор существования, используется вместо слов «существует», «найдется».

    Например:

    а)  ,  эту запись можно прочитать так: «любое положительное число , принадлежащее области ».

    б) запись  ,  можно прочитать «найдется число , меньше 10, принадлежащее множеству натуральных чисел».

    в) запись  читается «любое  стремится к .

    Рассмотрим функцию , определенную в области ,

     и пусть  - предельная точка множества .

     Число А называется пределом функции  при  произвольным образом, если для любого как угодно малого положительного числа  найдется такое число , как угодное малое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется также неравенство .

    Обозначают .

    Используя логические символы данное определение можно записать таким образом:

    , что для , как только , выполняется .

    В частности,

    для функции одной переменной ;

      - предельная точка.

    Определение предела  

    можно записать таким образом:

     , что для : как только  выполняется ;

    для функции двух переменных ;

      - предельная точка.

     

    можно записать таким образом:

     , что для ,  выполняется .

    Геометрический смысл предела функции в точке рассмотрим на примере функции одной переменной .

    Неравенство  равносильно двойному неравенству . Это означает, что точки   попадают в  - окрестность точки , то есть в интервал длиной .

    Неравенство  равносильно двойному неравенству .

    у

     
    Геометрически это соответствует, что точки графика функции  расположены в полосе, шириной .

     

     

     

    х

     

     

     

     

     

    А

     

     

    Замечание. Для существования предела функции совсем необязательно, чтобы функция была определена в точке М0 , но она должна быть обязательно определена в ее окрестности.

    Так, например, функция  не определена при х = 3. Однако можно доказать, что при  ее предел существует и равен 6. Доказательство. Достаточно показать, что для произвольного   найдется такое число , что будет выполнять неравенство , если .

    Действительно, имеем . Если принять , то задача решена.

    Математика Примеры решения задач