Введение в математический анализ

Предел функции в точке

Предел функции – фундаментальное понятие в математическом анализе, с его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.

Пусть функция  определена на некотором множестве .

  – фиксированная точка,

Говорят, что  есть предельная точка множества , если в любой окрестности этой точки содержится бесконечное множество точек .

Для функции одной переменной  в разделе 2.1.1. была определена  - окрестность точки  - это интервал , то есть все , удовлетворяющие неравенству .

 

 

 

Для функции двух переменных

- окрестность точки  - это круг радиуса  с центом в точке ; обозначают , в координатах можно записать  

 



Для функции трех переменных  это шар радиуса  с центром в точке  

; обозначают  - окрестность, аналогично .

Для функции большего числа аргументов окрестность точки  аналитически можно определить аналогичным образом:

Во всех случаях  - главный параметр, определяющий размеры окрестности точки , поэтому эти окрестности называют - окрестностями точки.

Замечание. Предельная точка  множеству  может, как принадлежать, так и не принадлежать. Например, для множества  предельными точками являются

, очевидно, что

, очевидно, что

, которое также не принадлежит ,

В математическом анализе часто используются символы математической логики:

  - квантор общности, используется вместо слова «любой»

  - квантор существования, используется вместо слов «существует», «найдется».

Например:

а)  ,  эту запись можно прочитать так: «любое положительное число , принадлежащее области ».

б) запись  ,  можно прочитать «найдется число , меньше 10, принадлежащее множеству натуральных чисел».

в) запись  читается «любое  стремится к .

Рассмотрим функцию , определенную в области ,

 и пусть  - предельная точка множества .

 Число А называется пределом функции  при  произвольным образом, если для любого как угодно малого положительного числа  найдется такое число , как угодное малое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется также неравенство .

Обозначают .

Используя логические символы данное определение можно записать таким образом:

, что для , как только , выполняется .

В частности,

для функции одной переменной ;

  - предельная точка.

Определение предела  

можно записать таким образом:

 , что для : как только  выполняется ;

для функции двух переменных ;

  - предельная точка.

 

можно записать таким образом:

 , что для ,  выполняется .

Геометрический смысл предела функции в точке рассмотрим на примере функции одной переменной .

Неравенство  равносильно двойному неравенству . Это означает, что точки   попадают в  - окрестность точки , то есть в интервал длиной .

Неравенство  равносильно двойному неравенству .

у

 
Геометрически это соответствует, что точки графика функции  расположены в полосе, шириной .

 

 

 

х

 

 

 

 

 

А

 

 

Замечание. Для существования предела функции совсем необязательно, чтобы функция была определена в точке М0 , но она должна быть обязательно определена в ее окрестности.

Так, например, функция  не определена при х = 3. Однако можно доказать, что при  ее предел существует и равен 6. Доказательство. Достаточно показать, что для произвольного   найдется такое число , что будет выполнять неравенство , если .

Действительно, имеем . Если принять , то задача решена.

Математика Примеры решения задач