Введение в математический анализ

Свойства функции одной переменной

Рассмотрим некоторые свойства функции одной переменной .

Функция  называется четной, если для любого  выполняется условие

.

График четной функции симметричен относительно оси ОУ. Например, функции   являются четными.

Функция называется нечетной, если для любого  выполняется

.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечетной функции являются .

Область определения  четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат. Если это условие не выполнено, то функция не является четной и не является нечетной.

Функция  называется периодической, если существует такое положительное число Т, что при любом значении  выполняется равенство

,

число Т называют периодом функции.

Например,

функции  являются периодическими с периодом ; функции ,  имеют период .

Функция  называется возрастающей на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых , таких, что

,

выполняется неравенство .

Функция  называется убывающей на множестве , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если

, то

 для любых .

Например, функция  является убывающей на множестве , а на множеств  эта функция является возрастающей.

Пример 6. Исследовать на четность функцию: y = x3 sin x.

Решение: Функция четная, если f(x) = f(-x).

Найдем

f(-x) = ( -x )3 sin ( - x ) = -x3 ( - sin x ) = x3 sin x = f(x).

Следовательно, функция y = x3 sin x четная.

Основные элементарные функции, их графики

Особую роль в математическом анализе играют элементарные функции.

Основными элементарными функциями называют:

степенную функцию ;

логарифмическую функцию ;

показательную функцию ;

тригонометрические функции ;

обратные тригонометрические функции  .

Функцию называют элементарной, если ее аналитическое выражение составлено из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции суперпозиции (функции от функции), примененных конечное число раз.

Например, функции

 

являются элементарными,

  а функция  элементарной не является.

Графики основных элементарных функций

Алгебраические функции

Линейная функция .

Область определения . Область значений .

 


Частные случаи:

 



Квадратичная .

Область определения .

   у

 

 a > 0

 

  x

 

 

 

 

 
 

 


 

 


Степенная .

Для  область определения , область значений  при n четном, или  при n нечетном.

 


 

  у у

     

 

 x

 
В частности

 


Трансцендентные функции

Показательная

Область определения  Область значений

 


Логарифмическая

Область определения  Область значений

 


Тригонометрические функции

Синус  

Область определения . Область значений  Периодическая, с периодом  Нечетная.

Косинус

Область определения . Область значений  Периодическая, с периодом  Четная.

 1

 

Тангенс  

Область определения  Область значений . Периодическая, с периодом  Нечетная.

Котангенс  

Область определения  Область значений . Периодическая, с периодом  Четная.

  

 

 

  -1 1 х

 

 

 

 

 
Арксинус .

Область определения  Область значений  Нечетная

11. Арккосинус Область определения . Область значений  

Арктангенс  

Область определения. Область значений  Нечетная, возрастающая. 

Арккотангенс  

Область определения. Область значений , убывающая. 

Математика Примеры решения задач