Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Свойства функции одной переменной

    Рассмотрим некоторые свойства функции одной переменной .

    Функция  называется четной, если для любого  выполняется условие

    .

    График четной функции симметричен относительно оси ОУ. Например, функции   являются четными.

    Функция называется нечетной, если для любого  выполняется

    .

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

    Примерами нечетной функции являются .

    Область определения  четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат. Если это условие не выполнено, то функция не является четной и не является нечетной.

    Функция  называется периодической, если существует такое положительное число Т, что при любом значении  выполняется равенство

    ,

    число Т называют периодом функции.

    Например,

    функции  являются периодическими с периодом ; функции ,  имеют период .

    Функция  называется возрастающей на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых , таких, что

    ,

    выполняется неравенство .

    Функция  называется убывающей на множестве , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если

    , то

     для любых .

    Например, функция  является убывающей на множестве , а на множеств  эта функция является возрастающей.

    Пример 6. Исследовать на четность функцию: y = x3 sin x.

    Решение: Функция четная, если f(x) = f(-x).

    Найдем

    f(-x) = ( -x )3 sin ( - x ) = -x3 ( - sin x ) = x3 sin x = f(x).

    Следовательно, функция y = x3 sin x четная.

    Основные элементарные функции, их графики

    Особую роль в математическом анализе играют элементарные функции.

    Основными элементарными функциями называют:

    степенную функцию ;

    логарифмическую функцию ;

    показательную функцию ;

    тригонометрические функции ;

    обратные тригонометрические функции  .

    Функцию называют элементарной, если ее аналитическое выражение составлено из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции суперпозиции (функции от функции), примененных конечное число раз.

    Например, функции

     

    являются элементарными,

      а функция  элементарной не является.

    Графики основных элементарных функций

    Алгебраические функции

    Линейная функция .

    Область определения . Область значений .

     


    Частные случаи:

     



    Квадратичная .

    Область определения .

       у

     

     a > 0

     

      x

     

     

     

     

     
     

     


     

     


    Степенная .

    Для  область определения , область значений  при n четном, или  при n нечетном.

     


     

      у у

         

     

     x

     
    В частности

     


    Трансцендентные функции

    Показательная

    Область определения  Область значений

     


    Логарифмическая

    Область определения  Область значений

     


    Тригонометрические функции

    Синус  

    Область определения . Область значений  Периодическая, с периодом  Нечетная.

    Косинус

    Область определения . Область значений  Периодическая, с периодом  Четная.

     1

     

    Тангенс  

    Область определения  Область значений . Периодическая, с периодом  Нечетная.

    Котангенс  

    Область определения  Область значений . Периодическая, с периодом  Четная.

      

     

     

      -1 1 х

     

     

     

     

     
    Арксинус .

    Область определения  Область значений  Нечетная

    11. Арккосинус Область определения . Область значений  

    Арктангенс  

    Область определения. Область значений  Нечетная, возрастающая. 

    Арккотангенс  

    Область определения. Область значений , убывающая. 

    Математика Примеры решения задач