Введение в математический анализ

Понятие функции одной и нескольких переменных

Понятие функции одно из основных понятий в математике. С развитием математики развивалось и изменялось представление о функции. В XVIII и начале XIX вв. понятие функции отождествлялось с формулой, которой, она определялась. Однако это сужает и обедняет возможности рассмотрения различных функциональных зависимостей. Позже (почти до наших дней) функция определялась как зависимая переменная величина, то есть некоторый процесс, протекающий во времени. Это удобно для физических приложений, но с точки зрения математики – недостаточно. В современном представлении функция – это соответствие между элементами двух множеств.

Пусть точка , причем Ø (не пустое множество).

Если каждой точке  по некоторому правилу  ставится в соответствие единственное действительное число Ø, то  называют функцией, причем называют

D – область определения функции;

E – область изменения функции.

E – это числовое множество, каждое значение которого определяет точку из одномерного пространства .

Точка  является аргументом функции. Правило , однако, применимо не к самой точке, а к ее координатам.

Таким образом, функция  устанавливает связь между точками  и точками некоторого множества одномерного пространства .

В зависимости от числа аргументов, входящих в уравнение , различают функции одного, двух и более аргументов. 

Будем исходить из того, что аргументы функции образуют линейно упорядоченные наборы. Каждый такой набор из n аргументов определяет точку M пространства :

1) ,

здесь  - функция одной переменной или одного аргумента x.   - точка числовой оси;  - некоторое подмножество множества действительных чисел , ,

2) ,

здесь - функция двух переменных или двух аргументов x, y .

  - некоторое подмножество множества; ,  - точка плоскости

3) ,  - функция трех переменных,

  - некоторое подмножество множества, соответственно,

точка ;  - точка трехмерного пространства .

4) для функции  переменных

  - некоторое подмножество - мерного пространства

  и точка .

Например:

  - функции одного аргумента х;

  - функция двух аргументов х, у;

  - функция трех аргументов: t, x, z.

Геометрически область определения D изображается для

функций одной переменной - отрезком, интервалом,

 функций двух переменных – частью плоскости  или всей этой плоскостью,

функций трех переменных – частью пространства  или всем пространством.

Пример 2. Найти f(1); f(a); f, если f(x)

Решение:

f(1) =  

Пример 3.

 Найти область определения функций одной переменной:

 

Решение:

а) область определения  определяется неравенством  или .

Итак :

б) :  или

Итак, :

Пример 4. Найти область определения функции:

Решение: а) Область определения D(y): 

или  

 Итак, : 1,5 £ х £ 4.

б) D(y): 

Решая неравенство методом интервалов, найдем нули

2х – 4 = 0 или х = 2;

х + 3 ¹ 0 или х ¹ -3 и х ¹ 4

 + – +

 ///////////////////////-3  2//////////////////////х

Итак, : х

в) D(y): x2 – 4x > 0

Решим неравенство: х2 – 4х = 0; х ( х – 4 ) = 0; х = 0 и х = 4.

 + – +

 ////////////////////////0  4///////////////////////х

Итак, : х

Пример 5.

 Найти область определения функций двух переменных и сделать чертеж:

 

Решение:

а) очевидно, что область определения  определяется неравенством  или

Граница области , есть окружность радиуса   с центром в начале координат, а область определения , есть множество точек плоскости , принадлежащих кругу радиуса   с центром в начале координат

 


б)  или

Уравнение  определяет границу области , ею является парабола, ветви которой направлены вниз и вершина в точке (0, 1).

у

 
Неравенство  определяет все точки плоскости, лежащие внутри параболы и не принадлежащие самой параболе.

0

 

1

 

1

 
*

х

 

D

 

в) Известно, что функция  определена, если ее аргумент  удовлетворяет неравенству , следовательно, функция   определена, если . Решая неравенство, найдем   или . Таким образом, границей области   являются прямые  и .

Изобразим на плоскости множество точек, удовлетворяющих двойному неравенству

Математика Примеры решения задач