Введение в математический анализ

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Понятие функции одной и нескольких переменных

    Понятие функции одно из основных понятий в математике. С развитием математики развивалось и изменялось представление о функции. В XVIII и начале XIX вв. понятие функции отождествлялось с формулой, которой, она определялась. Однако это сужает и обедняет возможности рассмотрения различных функциональных зависимостей. Позже (почти до наших дней) функция определялась как зависимая переменная величина, то есть некоторый процесс, протекающий во времени. Это удобно для физических приложений, но с точки зрения математики – недостаточно. В современном представлении функция – это соответствие между элементами двух множеств.

    Пусть точка , причем Ø (не пустое множество).

    Если каждой точке  по некоторому правилу  ставится в соответствие единственное действительное число Ø, то  называют функцией, причем называют

    D – область определения функции;

    E – область изменения функции.

    E – это числовое множество, каждое значение которого определяет точку из одномерного пространства .

    Точка  является аргументом функции. Правило , однако, применимо не к самой точке, а к ее координатам.

    Таким образом, функция  устанавливает связь между точками  и точками некоторого множества одномерного пространства .

    В зависимости от числа аргументов, входящих в уравнение , различают функции одного, двух и более аргументов. 

    Будем исходить из того, что аргументы функции образуют линейно упорядоченные наборы. Каждый такой набор из n аргументов определяет точку M пространства :

    1) ,

    здесь  - функция одной переменной или одного аргумента x.   - точка числовой оси;  - некоторое подмножество множества действительных чисел , ,

    2) ,

    здесь - функция двух переменных или двух аргументов x, y .

      - некоторое подмножество множества; ,  - точка плоскости

    3) ,  - функция трех переменных,

      - некоторое подмножество множества, соответственно,

    точка ;  - точка трехмерного пространства .

    4) для функции  переменных

      - некоторое подмножество - мерного пространства

      и точка .

    Например:

      - функции одного аргумента х;

      - функция двух аргументов х, у;

      - функция трех аргументов: t, x, z.

    Геометрически область определения D изображается для

    функций одной переменной - отрезком, интервалом,

     функций двух переменных – частью плоскости  или всей этой плоскостью,

    функций трех переменных – частью пространства  или всем пространством.

    Пример 2. Найти f(1); f(a); f, если f(x)

    Решение:

    f(1) =  

    Пример 3.

     Найти область определения функций одной переменной:

     

    Решение:

    а) область определения  определяется неравенством  или .

    Итак :

    б) :  или

    Итак, :

    Пример 4. Найти область определения функции:

    Решение: а) Область определения D(y): 

    или  

     Итак, : 1,5 £ х £ 4.

    б) D(y): 

    Решая неравенство методом интервалов, найдем нули

    2х – 4 = 0 или х = 2;

    х + 3 ¹ 0 или х ¹ -3 и х ¹ 4

     + – +

     ///////////////////////-3  2//////////////////////х

    Итак, : х

    в) D(y): x2 – 4x > 0

    Решим неравенство: х2 – 4х = 0; х ( х – 4 ) = 0; х = 0 и х = 4.

     + – +

     ////////////////////////0  4///////////////////////х

    Итак, : х

    Пример 5.

     Найти область определения функций двух переменных и сделать чертеж:

     

    Решение:

    а) очевидно, что область определения  определяется неравенством  или

    Граница области , есть окружность радиуса   с центром в начале координат, а область определения , есть множество точек плоскости , принадлежащих кругу радиуса   с центром в начале координат

     


    б)  или

    Уравнение  определяет границу области , ею является парабола, ветви которой направлены вниз и вершина в точке (0, 1).

    у

     
    Неравенство  определяет все точки плоскости, лежащие внутри параболы и не принадлежащие самой параболе.

    0

     

    1

     

    1

     
    *

    х

     

    D

     

    в) Известно, что функция  определена, если ее аргумент  удовлетворяет неравенству , следовательно, функция   определена, если . Решая неравенство, найдем   или . Таким образом, границей области   являются прямые  и .

    Изобразим на плоскости множество точек, удовлетворяющих двойному неравенству

    Математика Примеры решения задач