Введение в математический анализ

Введение в математический анализ

В данном разделе рассмотрим следующие понятия:

функции одной и нескольких переменных,

предела функции,

 непрерывности функции.

Понятие множества, операции над ними.

Множество действительных чисел.

Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, обладающих некоторым общим свойством. Множества обозначают

Объекты, объединенные одним общим свойством, называют элементами множества и обозначают . Если элемент «а» принадлежит множеству А, то это записывают таким образом . Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в противном случае.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества:

- действительных чисел,

 - рациональных,

  - иррациональных,

- целых {0,±1, ±2, …,},

- натуральных чисел {1, 2, 3, …, n,…}.

Конечные множества разделяются на счетные и несчетные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным и несчетным в противном случае. Так, множество четных чисел {2, 4, …, 2n,…}. – счетное, множество действительных чисел – несчетное.

Конечные и счетные множества называются дискретными множествами.

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то множество А называется частью, или подмножеством множества В и обозначается .

  Если  и , то множества А и В называются равносильными и обозначаются .

Например, очевидно, что

 

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.

Операции над множествами

Объединением, или суммой множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

.

Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

.

Разностью множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, обозначают .

Названные операции могут быть проиллюстрированы диаграммами Эйлера-Венна.

Геометрически множество действительных чисел  изображается точками числовой прямой (или числовой оси), то есть прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существуют взаимно однозначное соответствие, то есть каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Множество , , называется

отрезком (или сегментом), обозначается [],

если элементы х удовлетворяют неравенству ;

 интервалом ,

если элементы х удовлетворяют неравенству ,

полуинтервалами, соответственно [) и (],

если неравенствам  или ,

Всякий интервал, содержащий точку а, называется

  окрестностью точки а.

Интервал , то есть множество точек х таких, что ,

где , называется  - окрестностью точки а.

Неравенство, содержащее абсолютную величину , соответствует двойному неравенству   или .

Соответствует двойному неравенству : геометрически это неравенство определяет интервал с центром в точке  и длиной

При решении неравенств, содержащих абсолютную величину, полезно иметь ввиду следующие свойства:

Неравенство | х | £ а, где (а > 0) равносильно двойному неравенству

Неравенство , где (а < 0) , противоречиво.

Неравенство , где (а > 0), равносильно двум неравенствам.

Неравенство , где (а < 0), справедливо для любых .

Пример 1.

Решить неравенства:

а)

б)  

Решение:

а) данное неравенство можно записать в виде

 или

;

 или

Ответ:

б) это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

 и

Решая каждое неравенство, получим

  и  или

  и

Контрольный тест 1.

Задание 1.

Найти элементы множеств:

a) ;

б) .

Задание 2.

Изобразить на числовой прямой множества:

а) ; ; ;

если ;

 ;

 .

б) ;

в) .

Математика Примеры решения задач