МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИКА

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Задача 11

    Найти первые частные производные функций.

    a) ;

    b)  .

    Решение:

    Частные производные функции двух и более переменных определяется по тем же формулам и правилам, что и функция от одной переменной. Следует помнить одно правило: если по одной переменной дифференцируем функцию, то остальные переменные считаются постоянными в этой функции.

    a) Имеем функцию от двух переменных х и у: . Тогда частные производные:

    ,

    b) Данная функция является функцией от трех переменных x, y, z: . Тогда частные производные:

    ;

    ;

    .

    Задача 12

    Найти градиент функции z(x;y) в точке (хо, уо), если z= cos(2x + 11y), x0 = y0 = π/2

    Решение:

    Градиентом функции z(x;y) называется вектор с координатами (z´x , z´y ).

    Имеем: , . Найдем значения частных производных в точке x0 = y0 = π/2:

    Градиент функции z в точке (π/2; π/2):

    Задача 13

    Исследовать на экстремум функцию z = х2 - ху + (у + 1)2 .

    Решение:

    Найдем первые частные производные функции: ; . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем критическую точку, решая систему уравнений: . Отсюда получаем точку М(-2/3; -4/3). Найдем частные производные второго порядка данной функции: , ,. Найдем значение > 0, при этом > 0. Следовательно функция имеет минимум в точке М(-2/3; -4/3).

    Задача 14

    Найти общее решение дифференциальных уравнений и проверить правильность найденных решений дифференцированием:

    a) ;

    b) .

    Решение:

    Данное дифференциальное уравнение относится к виду , допускающему понижение порядка до тех пор, пока не получим решение уравнения. Для этого необходимо проинтегрировать правую и левую часть уравнения. Полученное уравнение имеет порядок на единицу ниже, чем исходное, то есть: .

    a) Решим дифференциальное уравнение первого порядка . Получим:

    .

    Для того чтобы проверить правильность найденного решения, необходимо найти производную найденной функции: . Получим исходное дифференциальное уравнение. Следовательно найденное решение верно.

    b) Решим дифференциальное уравнение второго порядка с помощью двукратного интегрирования . Тогда: , .

    Проверим правильность найденного решения. Для этого найдем первую и вторую производную найденной функции. , .

    Получим исходное дифференциальное уравнение. Следовательно найденное решение верно.

    Задача 15

    Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными :

    a)

    b)

    Решение:

    Уравнения вида:  называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными. В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое – от у. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:  - это общий интеграл.

    a) Разделим обе части уравнения  на : . Проинтегрируем обе части уравнения и получим:   (произвольную постоянную здесь удобно записать именно так), где С > 0. Тогда  - общий интеграл исходного уравнения. При делении на мы могли потерять решение y = -1 и x = 1. Так как С > 0, то оно не содержится в общем интеграле. Таким образом данное уравнение имеет особые решения: y = -1 и x = 1.

    b) Уравнение вида  также сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

    Решим уравнение: . Поскольку , то . Разделим переменные: . Проинтегрировав обе части уравнения получим: . Выразим у: . Это общее решение дифференциального уравнения.

    При разделении переменных произошло деление на , поэтому мы могли потерять решение y = 0. Оно не содержится в общем решении. Таким образом данное уравнение имеет особое решение y = 0.

    Задача 16

    Найти решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами: у" -2у' + 10у = 0 с условиями у = 0, у' = 1 при х = 0.

    Решение:

    Уравнения вида , где p и q постоянные, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Для решения необходимо составить характеристическое уравнение , заменив  на  соответственно. При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая:

    корни уравнения k1 , k2 - действительные и различные, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

    корни уравнения k1 , k2 - действительные и равные, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

    корни уравнения k1 , k2 - комплексно-сопряженные, то есть , тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

    Решим уравнение . Составим характеристическое уравнение: . Корни уравнения . В этом случае общее решение уравнения имеет вид: .


    .

    Подставляя начальные условия у = 0, у' = 1 при х = 0 в полученное общее решение и его производную, получаем систему уравнений относительно С1 и С2 :

     

    Найденные константы подставляем в общее решение. Получаем искомое частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

    Задача 17

    Найти решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в виде суммы общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения:

    у" - 2у' + у = 5.

    Решение:

    Общее решение данного уравнения представим в виде: , где  - общее решение однородного уравнения, а   - частное решение неоднородного уравнения.

    Найдем общее решение однородного уравнения . При решении характеристического уравнения   получим корни . Тогда  

    Частное решение для линейного уравнения, в правой части которого стоит константа, ищется в виде , где А – константа. Подставив это решение в исходное уравнение и учитывая что производная от константы равна нулю, получим А = 5, следовательно.

    Общее решение неоднородного уравнения .

    Математика Примеры решения задач