МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИКА

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Задача 7

    Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х2 функцию  и найти ее приближенное значение при х = 0,1.

    Решение:

    Формула Тейлора в окрестности точки х = 0 имеет вид:

    ,

    где n! = 1·2·3·4·….·n.

    Для того, чтобы разложить заданную функцию до членов порядка х2, необходимо найти ,,. Найдем: ; . Тогда: ,,. Получим следующее разложение: . Найдем приближенное значение функции при х = 0,1:

    Задача 8

    Исследовать функцию и построить ее график:

    Решение:

    Исследовать функцию и построить ее график:

    Решение:

    Схема исследования функции:

    Область определения функции, точки разрыва.

    Интервалы возрастания и убывания функции.

    Найти точки экстремума.

    Интервалы выпуклости и вогнутости функции.

    Найти точки перегиба.

    Асимптоты графика функции.

    На основании проведенного исследования строится график функции.

    Область определения функции  – вся числовая ось, то есть . Значит, точек разрыва нет.

    Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную: . Производная обращается в нуль при х = 0. При х < 0 производная положительная, а при x > 0 производная отрицательная. Это означает, что функция возрастает на  и убывает на . В точке х = 0 функция имеет максимум.

    Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную функции: . Вторая производная обращается в нуль при . Тогда и . Вторая производная положительна на интервалах: , следовательно на этих интервалах функция вогнута. Вторая производная отрицательна на , тогда функция на этом интервале выпукла. Точки и  - это точки перегиба функции.

    Найдем асимптоты графика функции. Вертикальных асимптот нет, так как область определения . Найдем наклонную асимптоту . Для этого найдем предел: . Следовательно, наклонной асимптоты нет. Горизонтальная асимптота , где . Тогда y = 0.

    Для построения графика вычислим значения функции в найденных точках: , .

    Построим график функции:

    Задача 9

    Найти неопределенные интегралы:

    ;

    ;

    c) ;

    d)

    Решение:

    a) Для нахождения интеграла можно использовать свойства интегралов: интеграл от разности функций равен разности интегралов; постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, а также формулу .

    .

    b) Данный интеграл не является табличным, поэтому для его нахождения можно применить замену переменной. Заменим 1+2x2 на t, то есть t = 1+2x2 . Тогда по правилу вычисления дифференциала , следовательно .

    =

    При вычислении интеграла от дробно-рациональной функции вида   можно в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат и сделать замену переменной.

    Например, для  преобразуем знаменатель подынтегральной функции . Сделаем замену переменной t = x-2. Тогда х = t+2, dx = dt.

    .

    Получили сумму из двух интегралов. Второй интеграл табличный , где а = 1, а в первом интеграле сделаем замену переменной u = t2 – 1, тогда tdt = du/2.

    d) Данный интеграл находится методом интегрирования по частям:

    .

    Пусть . Тогда по формуле интегрирования по частям:

    Задача 10

    Найти определенные интегралы:

    a) ;

    b) ;

    с) найти площадь фигуры ограниченной кривой  и осью абсцисс.

    Решение:

    a) Для вычисления интеграла используем метод непосредственного интегрирования. В результате получим:

    b) Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть t = sin(2x), тогда dt = (sin2x)´dx = 2·cos(2x)dx. Следовательно cos(2x)dx = dt/2. Также необходимо заменить пределы интегрирования, так как произошла замена исходной переменной:

    .

    с) Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой y = f(x), снизу осью OХ, слева прямой x = a и справа прямой y = b можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница: , где F(x) – первообразная для функции f(x).

    Фигура ограничена сверху графиком кривой , снизу осью ОХ. Эта площадь находится как интеграл от функции f(x), а пределы интегрирования – координаты точек пересечения параболы с осью OX. Найдем эти точки, решив уравнение . Корнями данного уравнения являются числа:  и . Поэтому нижний предел интегрирования равен 0, а верхний равен 2. Тогда:

    Математика Примеры решения задач