МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИКА

Задача 7

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х2 функцию  и найти ее приближенное значение при х = 0,1.

Решение:

Формула Тейлора в окрестности точки х = 0 имеет вид:

,

где n! = 1·2·3·4·….·n.

Для того, чтобы разложить заданную функцию до членов порядка х2, необходимо найти ,,. Найдем: ; . Тогда: ,,. Получим следующее разложение: . Найдем приближенное значение функции при х = 0,1:

Задача 8

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

Схема исследования функции:

Область определения функции, точки разрыва.

Интервалы возрастания и убывания функции.

Найти точки экстремума.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Найти точки перегиба.

Асимптоты графика функции.

На основании проведенного исследования строится график функции.

Область определения функции  – вся числовая ось, то есть . Значит, точек разрыва нет.

Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную: . Производная обращается в нуль при х = 0. При х < 0 производная положительная, а при x > 0 производная отрицательная. Это означает, что функция возрастает на  и убывает на . В точке х = 0 функция имеет максимум.

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную функции: . Вторая производная обращается в нуль при . Тогда и . Вторая производная положительна на интервалах: , следовательно на этих интервалах функция вогнута. Вторая производная отрицательна на , тогда функция на этом интервале выпукла. Точки и  - это точки перегиба функции.

Найдем асимптоты графика функции. Вертикальных асимптот нет, так как область определения . Найдем наклонную асимптоту . Для этого найдем предел: . Следовательно, наклонной асимптоты нет. Горизонтальная асимптота , где . Тогда y = 0.

Для построения графика вычислим значения функции в найденных точках: , .

Построим график функции:

Задача 9

Найти неопределенные интегралы:

;

;

c) ;

d)

Решение:

a) Для нахождения интеграла можно использовать свойства интегралов: интеграл от разности функций равен разности интегралов; постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, а также формулу .

.

b) Данный интеграл не является табличным, поэтому для его нахождения можно применить замену переменной. Заменим 1+2x2 на t, то есть t = 1+2x2 . Тогда по правилу вычисления дифференциала , следовательно .

=

При вычислении интеграла от дробно-рациональной функции вида   можно в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат и сделать замену переменной.

Например, для  преобразуем знаменатель подынтегральной функции . Сделаем замену переменной t = x-2. Тогда х = t+2, dx = dt.

.

Получили сумму из двух интегралов. Второй интеграл табличный , где а = 1, а в первом интеграле сделаем замену переменной u = t2 – 1, тогда tdt = du/2.

d) Данный интеграл находится методом интегрирования по частям:

.

Пусть . Тогда по формуле интегрирования по частям:

Задача 10

Найти определенные интегралы:

a) ;

b) ;

с) найти площадь фигуры ограниченной кривой  и осью абсцисс.

Решение:

a) Для вычисления интеграла используем метод непосредственного интегрирования. В результате получим:

b) Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть t = sin(2x), тогда dt = (sin2x)´dx = 2·cos(2x)dx. Следовательно cos(2x)dx = dt/2. Также необходимо заменить пределы интегрирования, так как произошла замена исходной переменной:

.

с) Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой y = f(x), снизу осью OХ, слева прямой x = a и справа прямой y = b можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница: , где F(x) – первообразная для функции f(x).

Фигура ограничена сверху графиком кривой , снизу осью ОХ. Эта площадь находится как интеграл от функции f(x), а пределы интегрирования – координаты точек пересечения параболы с осью OX. Найдем эти точки, решив уравнение . Корнями данного уравнения являются числа:  и . Поэтому нижний предел интегрирования равен 0, а верхний равен 2. Тогда:

Математика Примеры решения задач