МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИКА

Задача 1

Даны векторы  и . Найти вектор  =  + , скалярное произведение ( · ) и модуль вектора , где  = (1; 4; -1; -5),  = (5; -1; 5; 2).

Решение:

Вектор находится как сумма двух векторов  и . Для того чтобы найти сумму двух векторов заданных координатами необходимо сложить их соответствующие координаты.

= += (1; 4; -1; -5) + (5; -1; 5; 2) = (6; 3; 4; -3).

Скалярное произведение векторов – это число, полученное как сумма произведений соответствующих координат векторов.

· = 1·5 + 4·(-1) + (-1)·5 + (-5)·2 = -14

Длина вектора находится по формуле:

, где = .

Тогда:

Задача 2

Найти значение матрицы D = A · B – C2 и вычислить ее определитель, если даны матрицы:

A = , B = , C = .

Решение:

Для того чтобы найти значение матрицы D, необходимо в первую очередь найти произведение матриц А и В. Операция умножения двух матриц возможна только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, тогда . Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  такая, что , где i = 1,..m; k = 1,...p, то есть элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B. Тогда произведение двух матриц A и B:

Аналогично находим С2 , как произведение матрицы С на саму себя, то есть:

Для того, чтобы найти разность двух матриц необходимо найти разность соответствующих элементов этих матриц:

Вычислим определитель матрицы D разложением по первой строке, так как первая строка содержит больше всего нулей:

Задача 3

Решить систему из трех уравнений

  по формулам Крамера;

 методом Гаусса.

Решение:

a) При решении системы с использованием формул Крамера необходимо составить определители. Обозначим ∆ - главный определитель системы (составляется из коэффициентов при переменных), а ∆i - дополнительные определители (составляются из главного путем замены i-того столбца коэффициентов на столбец свободных членов). Формулы: , где i = 1,...n называются формулами Крамера.

Составим определители и вычислим их:

 18,   54,  36, 18. Значит, , , .

b) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы. На втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

Для решения данной системы уравнений составим расширенную матрицу системы из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. С помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

В результате исходная система преобразовалась к ступенчатой (восстановим запись системы из полученной ступенчатой матрицы ):

Решение данной системы: x = 3, y = 2, z = 1.

Математика Примеры решения задач