МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИКА

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Задача 1

    Даны векторы  и . Найти вектор  =  + , скалярное произведение ( · ) и модуль вектора , где  = (1; 4; -1; -5),  = (5; -1; 5; 2).

    Решение:

    Вектор находится как сумма двух векторов  и . Для того чтобы найти сумму двух векторов заданных координатами необходимо сложить их соответствующие координаты.

    = += (1; 4; -1; -5) + (5; -1; 5; 2) = (6; 3; 4; -3).

    Скалярное произведение векторов – это число, полученное как сумма произведений соответствующих координат векторов.

    · = 1·5 + 4·(-1) + (-1)·5 + (-5)·2 = -14

    Длина вектора находится по формуле:

    , где = .

    Тогда:

    Задача 2

    Найти значение матрицы D = A · B – C2 и вычислить ее определитель, если даны матрицы:

    A = , B = , C = .

    Решение:

    Для того чтобы найти значение матрицы D, необходимо в первую очередь найти произведение матриц А и В. Операция умножения двух матриц возможна только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, тогда . Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  такая, что , где i = 1,..m; k = 1,...p, то есть элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B. Тогда произведение двух матриц A и B:

    Аналогично находим С2 , как произведение матрицы С на саму себя, то есть:

    Для того, чтобы найти разность двух матриц необходимо найти разность соответствующих элементов этих матриц:

    Вычислим определитель матрицы D разложением по первой строке, так как первая строка содержит больше всего нулей:

    Задача 3

    Решить систему из трех уравнений

      по формулам Крамера;

     методом Гаусса.

    Решение:

    a) При решении системы с использованием формул Крамера необходимо составить определители. Обозначим ∆ - главный определитель системы (составляется из коэффициентов при переменных), а ∆i - дополнительные определители (составляются из главного путем замены i-того столбца коэффициентов на столбец свободных членов). Формулы: , где i = 1,...n называются формулами Крамера.

    Составим определители и вычислим их:

     18,   54,  36, 18. Значит, , , .

    b) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы. На втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

    Для решения данной системы уравнений составим расширенную матрицу системы из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. С помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    В результате исходная система преобразовалась к ступенчатой (восстановим запись системы из полученной ступенчатой матрицы ):

    Решение данной системы: x = 3, y = 2, z = 1.

    Математика Примеры решения задач