Дифференциальные уравнения Примеры решения задач

Математика Примеры решения задач
  • Дифференциальные уравнения
  • Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения
    второго порядка
  • Числовые ряды
  • Признаки сходимости знакопеременных рядов
  • Система линейных алгебраических
    уравнений и матрицы
  • Понятие линейного пространства и базиса
  • Собственные векторы и собственные
    числа линейного преобразования
  • Формулы комбинаторики
  • Найти точку пересечения прямых
  • Разложить по формуле Тейлора
  • Найти первые частные производные функций
  • Введение в математический анализ
  • Понятие функции одной и нескольких переменных
  • Свойства функции одной переменной
  • Предел функции в точке
  • Односторонние пределы функции одной переменной
  • Теоремы о пределах
  • Техника вычисления пределов
  • Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • Основные правила и формулы дифференцирования
  • Механический смысл производной
  • Векторная функция скалярного аргумента,
    её производная
  • Производные параметрической функции
  • Дифференциалы высших порядков
  • Линии уровня и градиент функции двух переменных
  • Дифференциал  длины дуги
  • Экстремум функции одной переменной
  • Асимптоты функции
  • Наибольшее и наименьшее значения функций
    на отрезке и в области
  • Функции в экономике
  • Производные в экономике
  • Эластичность функции
  • Найти решение смешанной задачи для
    уравнения теплопроводности
     
  • Фундаментальное решение уравнения 
    теплопроводности
  • Метод Фурье для одномерного
    уравнения теплопроводности
  • Решение Даламбера
  • Решение методом  Фурье
  • Контрольная работа по математике
  • Вычислить неопределённые интегралы
  •  

    Уравнение вида 

      (1)

    где x – аргумент,  – искомая функция, а y’,y’’,…,yn – ее производные, называется дифференциальным уравнением n – го порядка. Если уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной, то оно примет вид

      (1’)

    Дифференциальное уравнение вместо производных может содержать дифференциалы dx и dy. В частности напомним, что производную принято записывать через дифференциалы с помощью формулы .

    Функция  обращающая уравнение (1) в тождество, верное при всех x из некоторого интервала, называется решением этого уравнения. График этой функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде уравнением  то оно обычно называется интегралом дифференциального уравнения.

    Примером простейшего дифференциального уравнения может служить уравнение y’=f(x). Так как интегрирование есть действие обратное дифференцированию, то решение такого уравнения получается интегрировани-ем обеих его частей: , где F(x) первообразная функции f(x), а C есть произвольная постоянная.

    Если уравнение имеет вид , то его решение получается интегрированием обеих его частей n раз. В результате получаем выражение

     , содержащее n произвольных постоянных.

    Пример. Найти общее решение уравнения 

     Решение. Выполним первое интегрирование   а затем второе интегрирование

    Можно доказать, что дифференциальное уравнение n-го порядка, как правило, имеет не одно, а бесчисленное множество решений, зависящих от n произвольных постоянных.

    Общим решением уравнения n – го порядка называется семейство функций   которое при любом наборе произвольных постоянных  удовлетворяют исходному уравнению (1).

     Частным решением дифференциального уравнения n – го порядка называется функция  получающаяся при подстановке некоторого набора произвольных постоянных  в общее решение этого уравнения.

    Дифференциальные уравнения часто возникают при решении задач на движение, ибо скорость это первая производная пути по времени, а ускорение – это вторая производная пути по времени. Для выделения из всего множества решений дифференциального уравнения того единственного решения, которое соответствует истинному процессу (например, движению маятника или самолета) исходное дифференциальное уравнение (1) часто дополняют начальными условиями y(x0)=y0, y’(x0)=y1,…,y(n-1)(x0)=yn-1, где y0, y1, …, yn-1 числа. Это значит, что требуется найти такую функцию y=y(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению, которая в заданной точке x0 удовлетворяет также и всем начальным условиям. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

    Доказано, что если функция n+1 переменной j(x,y,y1,y2,…,yn-1) - правая часть уравнения (1’), определена и непрерывна в окрестности точки x0,y0,y1,y2,…,yn-1, то задача Коши с начальными условиями разрешима.

     На практике для решения задачи Коши сначала находят общее решение дифференциального уравнения, а затем подбирают произвольные постоянные так, чтобы получившееся частное решение удовлетворяло заданным началь-ным данным. Ниже мы покажем как этот метод осуществляется на конкретных примерах.

    Дифференциальные уравнения 1–го порядка

    Существует несколько типов уравнений первого порядка, решение которых можно получить с помощью интегрирования. Это уравнения с разделяющимися переменными, с однородной правой частью, линейные и некоторые другие. Каждое из них решается своим способом. Поэтому, прежде чем применять к конкретному дифференциальному уравнению некоторый метод решения, надо сначала научиться правильно определять тип диффе-ренциального уравнения.

    С целью правильного определения типа дифференциального уравнения, сначала избавляются от дифференциалов, деля уравнение на dx и заменяя   на y’. В результате мы придем к уравнению вида . Из него надо постараться выразить y’ через все остальное и привести уравнение к виду

    .

    Такой вид уравнения будем называть стандартным (обычно такое уравнение называется разрешенным относительно производной y’). Теперь ясно, что тип уравнения полностью определяется видом функции f(x,y) от 2-х переменных. В зависимости от тех или иных особенностей этой функции получается тот или иной тип дифференциального уравнения.

    1. Уравнение с разделяющимися переменными

     Уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правую часть можно разложить на множители так, чтобы каждый множитель зависел только от одной переменной. То есть 

    .  (1.1)

    Для решения уравнения с разделяющимися переменными надо выполнить следующие шаги.

    1) Заменить в формуле (1.1) y' на . В результате получаем .

    2) Разделить переменные. Для этого делим обе части уравнения на , а затем умножаем обе части на . В результате мы получаем уравнение . Цель такого преобразования заключается в том, чтобы получить уравнение, в котором разные переменные находятся в разных частях уравнения (переменные разделены).

    3) Интегрировать каждую часть уравнения по своей переменной. В результате мы получим общий интеграл уравнения (1.1) в виде

     (1.2)

      Если дифференциальное уравнение изначально было записано через дифференциалы и имело вид

     (1.3)

    то разделить переменные, можно выполнив деление на . Проинтегрировав получившееся после этого уравнение, получим общий интеграл уравнения (1.3) в виде

      (1.4)

     Замечание. Если для некоторого значения  имеем , то  является решением уравнения (1.1), в чем можно убедится непосредственно. При делении уравнения (1.3) на произведение  также можно потерять те решения уравнения, которые обращают это произведения в нуль.

     Пример. Требуется найти все решения дифференциального уравнения  

     Решение. Очевидно, что  является решением данного уравнения. Пусть теперь . Тогда, записав исходное уравнение в виде , приведем его к уравнению с разделенными переменными. Для этого разделим обе части на  и умножим на . Получим уравнение  с разделенными переменными. После интегрирования имеем  

    Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид , где С – произвольная постоянная. Заметим, что решение  не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С. 

    Пример 2. Решить уравнение  

    Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на произведение , получим уравнение:

    Интегрируя это уравнение, находим

      или .

    Общее решение уравнения имеет вид .

     При делении на  предполагалось, что , т.е.  Однако  есть решение уравнения, в чем можно убедиться непосредственно. Это решение получается из общего при С = 0. 

    Математика Примеры решения задач