Методические указания к решению задач из контрольных работ по математике

Контрольная по математике
  • Определители 2 и 3 порядков
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Найдем объем пирамиды
  • Построим заданную линию по точкам
    в полярной системе координат
  • задача нахождения обратной матрицы
  • решения системы линейных уравнений
    методом Гаусса
  • линейные операторы
  • Выполнить действия над комплексными
    числами в алгебраической форме.
  • Найти предел
  • вычисление производных
  • Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя
  • задача на интегрирование.
  • Замена переменной под знаком интеграла
  • Вычислить определенный интеграл 
  • о вычислении несобственных интегралов
  • функции нескольких переменных.
  • С помощью полного дифференциала вычислить
  • об экстремумах функций двух переменных
  • интегрирование функций нескольких переменных
  • к вычислению тройного интеграла
  • Элементы векторной алгебры
    и аналитической геометрии
  • Параметрические уравнения прямой линии
  • Элементы линейной алгебры
  • Найти произведение матриц
  • Дифференциальное исчисление
  • Производная обратной функции
  • Приложения дифференциального исчисления
  • Найти асимптоты графика функции
  •  

    Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

    Основные теоретические сведения

    1. Матрицей (квадратной) 2-го порядка называют таблицу чисел .

    Определителем (детерминантом) квадратной матрицы 2-го порядка называется число . Определитель матрицы обозначается

    .

    Правило, по которому вычисляется определитель матрицы 2-го порядка, схематически можно изобразить следующим образом:

     или 

    Определителем квадратной матрицы 3-го порядка  называется число .

    Определитель матрицы 3-го порядка обозначается

    Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком «плюс», какие – со знаком «минус», можно пользоваться правилом, схематически изображенным следующим образом:

    .

    Определителем матрицы n-го порядка называется сумма всех n! произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком «плюс» или «минус» по некоторому правилу.

    Вычисление определителей выше третьего порядка производится путем использования различных свойств, которыми обладают определители.

    Минором  элемента  называется определитель (n-1)-го порядка , полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение  элемента  определяется равенством .

    Реккурентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеет вид   (разложение определителя по элементам 1-й строки).

    Для   ,

     где

    ;

    .

    Вопросы для самопроверки

    1. Что называется вектором и модулем вектора?

    2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?

    3. Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными? Если да, то чем они могут различаться?

    4. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки A пространства. Где находятся концы этих векторов?

    5. Какие операции над векторами называются линейными, и каковы свойства этих операций?

    6. Что называется базисом на прямой линии, на плоскости и в пространстве?

    7. В каком случае векторы называются линейно зависимыми, и в каком – линейно независимыми?

    8. Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их компонентами (координатами) в некотором базисе.

    9. Какой базис называется ортонормированным?

    10. Как определяется, декартова система координат?

    11. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?

    2. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, которое обозначается  и равно произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними

     . (1.1)

    Если , то

     ,  (1.2)

    , (1.3)

      . (1.4)

    Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой - вторым и какой - третьим.

    Упорядоченная тройка некомпланарных векторов (a, b, c) называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму b виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

    3. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый , который удовлетворяет следующим трем условиям:

    длина вектора  равна

    1) ;  (1.5)

    2) вектор  перпендикулярен каждому из векторов a и b, ;

    3) векторы a, b,  образуют правую тройку векторов.

    Если , , то векторное произведение   выражается через координаты данных векторов a и b следующим образом:

      (1.6)

    или с помощью определителей 2-го порядка

    .  (1.7)

    Геометрически , где S - площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

    4. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c, т.е. .

    Если , , , то

    ,  (1.8)

    Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.

     .  (1.9)

    Вопросы для самопроверки

    1. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

    2. Какие свойства скалярного произведения совпадают, а какие отличаются от произведения чисел?

    3. Каков геометрический смысл скалярного произведения?

    4. Каков физический смысл скалярного произведения?

    5. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат.

    6. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

    7. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

    9. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

    5. Общее уравнение плоскости Π имеет вид

     . (1.10)

    Коэффициенты A, B, C являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости. Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

    Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если плоскость Π проходит через точку  и перпендикулярна к вектору , то ее уравнение записывается в виде

      . (1.11)

    Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  и , не лежащие на одной прямой, имеет вид

    .  (1.12)

    Угол между двумя плоскостями

    ,

    имеющими нормальные векторы  и , определяется как угол между векторами,  и , косинус этого угла находится по формуле (4).

    Параметрические уравнения прямой линии. Прямая линия определяется однозначно заданием некоторой фиксированной точки и вектора, коллинеарного данной прямой и называемого направляющим

    Пример. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки   и .

    Элементы линейной алгебры

    Пример. Найти произведение матриц .

    Контрольная работа Дифференциальное исчисление

    Производная обратной функции

    Раскрытие неопределенностей вида

    Приложения дифференциального исчисления

    Пример. Найти асимптоты графика функции .

    На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2, ВАС = 120°.

    К кривой  в точках с абсциссами  и проведены касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Oy, будет наименьшим?

    Примеры решения задач по начертательной геометрии