Методические указания к решению задач из контрольных работ по математике

Контрольная по математике
  • Определители 2 и 3 порядков
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Найдем объем пирамиды
  • Построим заданную линию по точкам
    в полярной системе координат
  • задача нахождения обратной матрицы
  • решения системы линейных уравнений
    методом Гаусса
  • линейные операторы
  • Выполнить действия над комплексными
    числами в алгебраической форме.
  • Найти предел
  • вычисление производных
  • Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя
  • задача на интегрирование.
  • Замена переменной под знаком интеграла
  • Вычислить определенный интеграл 
  • о вычислении несобственных интегралов
  • функции нескольких переменных.
  • С помощью полного дифференциала вычислить
  • об экстремумах функций двух переменных
  • интегрирование функций нескольких переменных
  • к вычислению тройного интеграла
  • Элементы векторной алгебры
    и аналитической геометрии
  • Параметрические уравнения прямой линии
  • Элементы линейной алгебры
  • Найти произведение матриц
  • Дифференциальное исчисление
  • Производная обратной функции
  • Приложения дифференциального исчисления
  • Найти асимптоты графика функции
  •  

    ЗАДАНИЕ №24

    Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

     Тройным интегралом от функции  по области Ư называется предел интегральной суммы при условии, что

    ,  где d- диаметр частичной области разбиения

      Для непрерывной в области U функции этот предел существует и не зависит от способа разбиения области U на элементарные и от выбора точек Рк (теорема о существовании тройного интеграла).

     Если  в области U, то тройной интеграл  физически есть масса тела, занимающего область U и имеющего переменную плотность

     В частности, если , то тройной интеграл определяет объем области U,т.е.

    dU – элемент объёма.

     Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

     В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:

    Вычисление тройного интеграла

     Пусть область интегрирования U определяется неравенствами:

    Где y1(x), y2(x), z1( x, y), z2(x, y) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции  по области U вычисляется по формуле:

      Интеграл стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной.

    Пример 1. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного

     поверхностями

    z=0, z=4-y2, x2=2y.

     Решение: Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью z=4-y2 с образующими, параллельными оси ОХ, снизу плоскостью z=0 ( координатная плоскость ХОУ ).

     Эти поверхности

     пересекаются по

     прямым:

     у = -2 и у = +2

     Тело U ограничено также цилиндрической поверхностью x2=2y с образующими, параллельными оси OZ

      

     Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область Д

    плоскости ХОУ

        

     Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х и У расставятся в соответствии с областью Д (как в двухкратном интеграле), а пределами интегрирования по Z будут:

    Получим 

    Ответ:

     

     

    21.1 Стационарные точки:

       

      x=-2, y=-1 ,следовательно, есть одна стационарная точка (-2, -1)

    Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси , отрезка оси и отрезка АВ прямой

    а) На оси , значит . Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке . Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах отрезка. Определим точку стационарности .

    Определим значение функции при  и на концах отрезка [-5,0]

     

    б) На оси   значит 

     

       

    в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ , значит   

     

     

     

    Сравним теперь значение  z в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

    , получаем, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке , а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).

    21.2 Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего значения функция достигает на границе области в точке , а . Наименьшего значения функция достигает в точке , а .

     21.3 Обозначим стороны треугольникаи . По формуле Герона площадь треугольника , так как - полупериметр, то  и  становится функцией не трёх, а только двух переменных

    Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум её квадрата . Находим стационарные точки   . Исследованию подлежит только одна точка , так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра).

    Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при

    Так как , то треугольник равносторонний.

    22.1

     

    22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a  связаны формулой - то есть производная по направлению равна проекции вектора-градиента на вектора.

    В нашем случае

    23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив систему

    можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий, ограничивающих область пересечения.

       

     

    Точки пересечения и . Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по , а внутренний по . Заметим, что в пределах изменения  от -1 до 8 область интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху – двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две  и . Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область   ограничена сверху и снизу ветвями параболы  и , а область  снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой  (при ).

    23.2  По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно  и относительно . Биссектрисы координатных углов   и  также являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При  ,  получим две точки пересечения с осью   и .

    Аналогично при  получим , . Добавим точки при

    Построим кривую

    Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

    При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

    x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

    Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

    φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ= ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

    , где F(ρ, φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется интеграл , в котором φ считается постоянным.

     


    Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ, y= ρsinφ.

    Получим

      - уравнение линии в полярных координатах.

    В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

    По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

    Итак

    =

    .

    Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например: Вычислить определенный интеграл 

    Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов

    Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона

    Все следующие задачи будут относиться к функциям нескольких переменных.

    Пример. Даны функции  и точка М(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точке М и оценить относительную погрешность.

    Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе.

    Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных

    Примеры решения задач по начертательной геометрии