Методические указания к решению задач из контрольных работ по математике

Контрольная по математике
  • Определители 2 и 3 порядков
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Найдем объем пирамиды
  • Построим заданную линию по точкам
    в полярной системе координат
  • задача нахождения обратной матрицы
  • решения системы линейных уравнений
    методом Гаусса
  • линейные операторы
  • Выполнить действия над комплексными
    числами в алгебраической форме.
  • Найти предел
  • вычисление производных
  • Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя
  • задача на интегрирование.
  • Замена переменной под знаком интеграла
  • Вычислить определенный интеграл 
  • о вычислении несобственных интегралов
  • функции нескольких переменных.
  • С помощью полного дифференциала вычислить
  • об экстремумах функций двух переменных
  • интегрирование функций нескольких переменных
  • к вычислению тройного интеграла
  • Элементы векторной алгебры
    и аналитической геометрии
  • Параметрические уравнения прямой линии
  • Элементы линейной алгебры
  • Найти произведение матриц
  • Дифференциальное исчисление
  • Производная обратной функции
  • Приложения дифференциального исчисления
  • Найти асимптоты графика функции
  •  

    ЗАДАНИЕ №13

    Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

    Для раскрытия неопределённостей вида или  используется правило Лопиталя:

    Пусть   и  две дифференцируемые на некотором интервале функции, причем , и пусть при  (или ), обе эти функции стремятся к нулю (или ). Тогда, если  при данном стремлении x существует, то существует и

    .

    Пример 1. Найти предел

    Решение: При  имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:

    Ответ:

    Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида   или , то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.

    Пример 2. Найти предел .

    Решение: При  получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду

    Теперь при  и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя

    Ответ:

    Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

    Пример 3. Найти предел .

    Решение : Здесь ,  при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду  и получаем

    где буква Л над знаком равенства означает применение правила Лопиталя.

    Ответ:

    Подробнее о вычислении пределов по правилу Лопиталя можно прочесть в [1] гл.4 §2, 4, 5 и найти соответствующие задачи в [3].

    Следующие задачи решите самостоятельно:

    Вычислить

     

     

    ЗАДАНИЕ №8 Это задание относится к разделу «линейные операторы»

    Чтобы решить задачу №9,необходимо уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической их формах. Пример. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

    Для решения контрольной работы №2 по математике или контрольной работы №1 по математическому анализу (для специальности ЭВМ) надо изучить разделы, посвященные пределам функции одной переменной и ее производной.

    Пример. Найти предел .

    Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

    Следующая задача относится к вычислению производных

    Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления

    Далее в контрольных работах любой специальности следует задача на интегрирование.

    Замена переменной под знаком интеграла

    Примеры решения задач по начертательной геометрии