Методические указания к решению задач из контрольных работ по математике

ЗАДАНИЕ №13

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределённостей вида или  используется правило Лопиталя:

Пусть   и  две дифференцируемые на некотором интервале функции, причем , и пусть при  (или ), обе эти функции стремятся к нулю (или ). Тогда, если  при данном стремлении x существует, то существует и

.

Пример 1. Найти предел

Решение: При  имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:

Ответ:

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида   или , то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 2. Найти предел .

Решение: При  получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду

Теперь при  и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя

Ответ:

Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

Пример 3. Найти предел .

Решение : Здесь ,  при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду  и получаем

где буква Л над знаком равенства означает применение правила Лопиталя.

Ответ:

Подробнее о вычислении пределов по правилу Лопиталя можно прочесть в [1] гл.4 §2, 4, 5 и найти соответствующие задачи в [3].

Следующие задачи решите самостоятельно:

Вычислить

 

 

ЗАДАНИЕ №8 Это задание относится к разделу «линейные операторы»

Чтобы решить задачу №9,необходимо уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической их формах. Пример. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Для решения контрольной работы №2 по математике или контрольной работы №1 по математическому анализу (для специальности ЭВМ) надо изучить разделы, посвященные пределам функции одной переменной и ее производной.

Пример. Найти предел .

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

Следующая задача относится к вычислению производных

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления

Далее в контрольных работах любой специальности следует задача на интегрирование.

Замена переменной под знаком интеграла

Примеры решения задач по начертательной геометрии