Методические указания к решению задач из контрольных работ по математике

ЗАДАНИЕ №1.

Для решения контрольной работы №1 по математике и контрольной работы №1 по курсу алгебра и геометрия следует изучить разделы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии любых учебников. Для решения задач первой контрольной понадобятся следующие понятия и факты:

Для решения первой задачи:

Определители 2 и 3 порядков

 -определитель 2-го порядка

Заметим, что у элемента определителя  -номер строки, а -номер столбца

  -

 - определитель 3 порядка 

 Векторы и действия над ними.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор  (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

(5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

Векторы можно складывать и если =+, где (2,3,5) а  (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2(-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается  и считается по формуле

 =

для (2,3,5)

  ||=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат ,, - единичные векторы (орты) положительных направлений осей  И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов    называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2, 3, 5- компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

 Скалярным произведением вектора  на вектор  называется число (,) = , где угол между и .

В координатной форме

(,) =  - т.е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат

  =

таким образом

==

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

= , значит

  =

Векторным произведением  на  называется вектор, обозначаемый  или

и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2)  перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и  составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Координатная форма векторного произведения

или (-7,8,-2)

Смешанное произведение трех векторов ,  и  обозначается и равно , то есть векторной произведение на  скалярно умножено на (значит, это число- скаляр)

Численно модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

Координатная форма смешанного произведения

Поскольку в случае компланарности векторов объем соответствующего параллелепипеда равен нулю, то условием компланарности является равенство нулю их смешанного произведения

Плоскость и прямая в пространстве. Рассмотрим произвольную плоскость и на ней вектор-нормаль , то есть вектор, перпендикулярный плоскости и фиксированную точку .Возьмем текущую точку ,координаты которой меняются так, что точка  остается в плоскости, таким образом вектор  также всегда, при любых движениях точки  лежит в плоскости.

Найдем объем пирамиды

Пример. Задан отрезок , где (-2,5), (4,17). Определить координаты точки  , расстояние от которой до точки  в два раза больше, чем расстояние до точки.

ЗАДАНИЕ №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная  декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат

Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.

Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы

Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Задача №7: Привести квадратичную форму  к каноническому виду; найти ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найти матрицу перехода к ортонормированному базису.

Примеры решения задач по начертательной геометрии