Методические указания к решению задач из контрольных работ по математике

Контрольная по математике
  • Определители 2 и 3 порядков
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Найдем объем пирамиды
  • Построим заданную линию по точкам
    в полярной системе координат
  • задача нахождения обратной матрицы
  • решения системы линейных уравнений
    методом Гаусса
  • линейные операторы
  • Выполнить действия над комплексными
    числами в алгебраической форме.
  • Найти предел
  • вычисление производных
  • Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя
  • задача на интегрирование.
  • Замена переменной под знаком интеграла
  • Вычислить определенный интеграл 
  • о вычислении несобственных интегралов
  • функции нескольких переменных.
  • С помощью полного дифференциала вычислить
  • об экстремумах функций двух переменных
  • интегрирование функций нескольких переменных
  • к вычислению тройного интеграла
  • Элементы векторной алгебры
    и аналитической геометрии
  • Параметрические уравнения прямой линии
  • Элементы линейной алгебры
  • Найти произведение матриц
  • Дифференциальное исчисление
  • Производная обратной функции
  • Приложения дифференциального исчисления
  • Найти асимптоты графика функции
  •  

    ЗАДАНИЕ №1.

    Для решения контрольной работы №1 по математике и контрольной работы №1 по курсу алгебра и геометрия следует изучить разделы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии любых учебников. Для решения задач первой контрольной понадобятся следующие понятия и факты:

    Для решения первой задачи:

    Определители 2 и 3 порядков

     -определитель 2-го порядка

    Заметим, что у элемента определителя  -номер строки, а -номер столбца

      -

     - определитель 3 порядка 

     Векторы и действия над ними.

    В декартовой прямоугольной системе координат вектор  (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

    (5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

    Векторы можно складывать и если =+, где (2,3,5) а  (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

    Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2(-4,-6,-10)

    Длина (модуль) вектора обозначается  и считается по формуле

     =

    для (2,3,5)

      ||=

    Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат ,, - единичные векторы (орты) положительных направлений осей  И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

    Тройку векторов    называют ортонормированным координатным базисом.

    2,3,5 - координаты вектора , а

    2, 3, 5- компоненты вектора .

    Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

     Скалярным произведением вектора  на вектор  называется число (,) = , где угол между и .

    В координатной форме

    (,) =  - т.е. сумме произведений одноимённых координат

    =

    Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

    Скалярный квадрат

      =

    таким образом

    ==

    С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

    = , значит

      =

    Векторным произведением  на  называется вектор, обозначаемый  или

    и такой, что:

    1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

    2)  перпендикулярен плоскости векторов и

    3) вектора , , и  составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

    Координатная форма векторного произведения

    или (-7,8,-2)

    Смешанное произведение трех векторов ,  и  обозначается и равно , то есть векторной произведение на  скалярно умножено на (значит, это число- скаляр)

    Численно модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

    Координатная форма смешанного произведения

    Поскольку в случае компланарности векторов объем соответствующего параллелепипеда равен нулю, то условием компланарности является равенство нулю их смешанного произведения

    Плоскость и прямая в пространстве. Рассмотрим произвольную плоскость и на ней вектор-нормаль , то есть вектор, перпендикулярный плоскости и фиксированную точку .Возьмем текущую точку ,координаты которой меняются так, что точка  остается в плоскости, таким образом вектор  также всегда, при любых движениях точки  лежит в плоскости.

    Найдем объем пирамиды

    Пример. Задан отрезок , где (-2,5), (4,17). Определить координаты точки  , расстояние от которой до точки  в два раза больше, чем расстояние до точки.

    ЗАДАНИЕ №3

    Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная  декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

    Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат

    Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.

    Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы

    Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса

    Задача №7: Привести квадратичную форму  к каноническому виду; найти ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найти матрицу перехода к ортонормированному базису.

    Примеры решения задач по начертательной геометрии