Математический анализ Контрольная по математике Матрицы Пределы Производная и дифференциал Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Математика типовой расчет по теме Интегралы и производная

Неопределенный интеграл

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. В силу свойства 4 имеем .

Согласно свойству 5 выполняются равенства: , .

Из ранее рассмотренных примеров имеем  и . Поэтому . Отсюда в силу свойства 3 .

 Свойство 6. Пусть  – первообразная для  на ; функция  – произвольная дифференцируемая на  функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство   сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования  функцией

. Конструкция определенного интеграла создается на основе построения интегральных сумм для интегрируемой на некотором отрезке функции. Причем различных интегральных сумм можно построить бесконечно много. Как правило, полезно в первую очередь рассматривать крайние (экстремальные) значения характеристик объекта исследования и по ним изучать его свойства. В нашем случае этими характеристиками служат наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках разбиения [an error occurred while processing this directive]

В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции , получим выражение

,

совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что
доказывает справедливость формулы.

Свойство 6 называют обычно свойством инвариантности формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).

ПРИМЕР. Равенство  в силу свойства 6 можно записать в виде , где  (или ) – произвольная дифференцируемая функция, и использовать в качестве формулы для вычисления многих интегралов. Например, , .

Заметим, что более общая формула  ( – произвольное число, ) следует из равенства , если использовать свойство 6.

Аналогично из каждой формулы дифференцирования элементарной функции   путем ее обращения получается "интегральная" формула . Подобные формулы составляют таблицу основных интегралов, которые называются для краткости "табличными". Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора

В практике вычисления неопределенных интегралов обычно пользуются специальными справочниками.

ТАБЛИЦА  НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. . 2. .

3. .

4. .  5. .

6. .  7. .

8. .  9. .

10. .

11. .

12. .  13. .

14.

15. .

Все формулы таблицы интегралов можно проверить, опираясь на определение неопределенного интеграла. Например, справедливость формулы 12 следует из равенств

.

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования.

Вычислить . РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – .

Интегрирование тригонометрических функций вида

Вычислить .

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена. Приведем некоторые рекомендации такого выбора. Вычислить , .

Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, .

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой) Иногда по структуре подынтегрального выражения удается догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.


На главную