Математический анализ Контрольная по математике Матрицы Пределы Производная и дифференциал Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Математика типовой расчет по теме Интегралы и производная

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой   при  или
при )

Пусть функция  определена на . Прямая  – наклонная асимптота для  при  тогда и только тогда, когда 1)  – конечное число; 2)  – конечное число.

Доказательство. () Если  – наклонная асимптота при  ( – числа), то , т.е. . Поэтому  и .

() Из 1) и 2) имеем   и , т.е.  – наклонная асимптота при . [an error occurred while processing this directive]

Аналогичные рассуждения при .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)

;

;

аналогично для строгого убывания функции

.

Доказательство. Возьмем ,  так, чтобы  (). Тогда по теореме Лагранжа найдется   такое, что  и , что соответствует определению строгого возрастания функции на промежутке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)

Если функция  непрерывна в  и имеет экстремум в точке , то  или не существует .

Доказательство. Пусть  – точка локального максимума функции , , , т.е. найдется окрестность этой точки  такая, что , т.е. . Далее используем теорему Ферма.

Аналогичные рассуждения для случая  – точка локального минимума функции .

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Если 1)   – непрерывна на  и дифференцируема в ; , кроме возможно точки ;

 2)   или не существует ;

 3) ,  меняет знак в точке  при переходе слева направо через ,

то  имеет локальный экстремум в точке .

Доказательство. Пусть для определенности  на  (имеет знак "+") и  на  (имеет знак "–"). Тогда на  , т.е. ;

на   , т.е. ,

т.е. приращение функции ,  сохраняет знак, в окрестности точки ; а это означает (по определению), что  – точка локального максимума 
функции .

Аналогичные рассуждения в случае смены знака производной  с "–" на "+" при переходе слева направо через стационарную точку  ().

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в точке  функция может иметь  (например, ), а производная  меняет знак в бесконечном множестве точек на всякой окрестности точки .

Контрпример. , .

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции


На главную