Математический анализ Контрольная по математике Матрицы Пределы Производная и дифференциал Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Контрольная по теме Интегралы и производная

Предел и непрерывность функции одной переменной

Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е. .

Поэтому предел последовательности можно изучать при .

Возможны ситуации:

последовательность при  имеет конечный предел;

бесконечно большая последовательность при .

 

Аналогично всякая последовательность может быть изучена с помощью ее ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. [an error occurred while processing this directive]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  (подпоследовательности)

Пусть   – произвольная числовая последовательность.

Пусть   функция такая, что

 определена для ;

;

  возрастающая (строго) функция, т.е.

  .

Тогда множество  элементов исходной последовательности, выделенных с помощью закономерности номеров , образует подпоследовательность  исходной последовательности.

Всякая последовательность имеет бесконечное множество
подпоследовательностей, например, ,, и т.д.

Если последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Если последовательность бесконечно большая, то и любая ее подпоследовательность также бесконечно большая.

Обратные утверждения тоже верны, но не эффективны для изучения поведения последовательности. Поэтому используются обычно теоремы, в которых информация о поведении конечного множества подпоследовательностей позволяет устанавливать свойства
исходной последовательности.

УТВЕРЖДЕНИЕ (достаточное условие сходимости). Если для произвольной последовательности  ее подпоследователь-ности  и  сходятся, и их пределы совпадают, то
исходная последовательность  сходится к общему значению пределов указанных подпоследовательностей, т.е. ;

.

Доказательство:

,

.

Отсюда для всех  имеем ,
поскольку целое число либо четное, либо нечетное.

УТВЕРЖДЕНИЕ  (достаточное условие "расходимости" последовательности)

Если для произвольной последовательности либо какая-либо ее подпоследовательность не сходится (расходится), либо существуют две ее подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам, то сама последовательность расходится.

Типовое задание – показать по определению  – 
в конкретном случае удобно решать по схеме:

рассматриваем произвольное ;

ищем   так, чтобы ;

для этого вычисляем, при каких значениях  выполняется соотношение , и строим функцию  с нужными свойствами;

записываем вывод.

Показать по определению . . Показать .

Показать, что  не существует.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при   конечный предел

Теорема о переходе к пределу в равенстве Контрпример. Пусть , , тогда . Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).


На главную