Математический анализ Контрольная по математике Матрицы Пределы Производная и дифференциал Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Контрольная по теме Интегралы и производная

Свойтва числовых множеств

Напомним свойства множества всех действительных чисел .

Множество  – бесконечное, мощности .

; .

Между   и точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие, поэтому термины "точка" и "действительное число" взаимозаменяемы и, значит, числовые промежутки можно представлять геометрическими отрезками (с концами или без концов).

Если  и   – произвольные действительные числа, то либо , либо , либо ; причем если , то ,
а также если   и , то .

Для любых различных действительных чисел найдется действительное число "между" ними, например их полусумма, т.е.   или  .

Сформулированное свойство ПЛОТНОСТИ множества  верно и для множеств  и .

Свойство НЕПРЕРЫВНОСТИ ("сплошности") множества  постулируется, например, ПРИНЦИПОМ  КАНТОРА

Для любой последовательности вложенных сегментов

,

стягивающихся по длине к нулю, т.е. такой, что , существует единственная точка , принадлежащая всем сегментам сразу, т.е. .

Очевидно, что при   Заметим, что хотя  и , но свойство непрерывности для множеств  и  не имеет места.

Ограниченность числовых множеств. Пусть  – произвольное числовое множество, . [an error occurred while processing this directive]

( – ограничено сверху)();

( – ограничено снизу)();

( – ограниченное)(), т.е. . Чаще отрезок  берется симметричным относительно , т.е.

( – ограниченное)().

Используя отрицание высказывания, имеем

( – неограниченное)().

Например,  – ограниченное множество, т.к. ;

множество  – неограниченное, так как
для   можно указать (существует) , такое, что .

Если множество  ограничено сверху, то говорят: "множество имеет "верхнюю границу", т.е. [an error occurred while processing this directive]

.

В этом случае множество всех верхних границ  – бесконечное.

Наименьшая из верхних границ множества  называется
точной верхней границей множества  или его ВЕРХНЕЙ ГРАНЬЮ и обозначается  (читается "супремум множества "), т.е.

   ( – верхняя граница множества  – наименьшая верхняя граница множества )

или

   .

ПРИМЕРЫ. Множество  имеет множество верхних границ ;  – наибольший элемент множества  и одновременно наименьшая верхняя граница множества, т.е. . Множество  имеет множество всех верхних
границ .

Аналогично для ограниченного снизу множества  вводится
понятие НИЖНЕЙ ГРАНИ множества  –  (читается "инфимум множества "), как наибольшей из нижних границ множества;
( – точная нижняя граница), т.е.

  .

Покажем по определению . В самом деле, имеем

;

 

.

ПРИМЕР. Показать по определению  и  для .

РЕШЕНИЕ. ;

.

Предел и непрерывность функции одной переменной Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство . В определении предела значение функции в точке  не участвует, поэтому функция  в точке  может быть не определена (не задана). Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.
На главную