Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

Основные понятия и аксиомы статики

Техническая механика — комплексная дисциплина. Она включает три раздела: «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Детали машин». «Теоретическая механика» — раздел, в котором излагаются основные законы движения твердых тел и их взаимодействия. В разделе «Сопротивление материалов» изучаются основы прочности материалов и методы расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость под действием внешних сил. В заключительном разделе «Технической механики» «Детали машин» рассматриваются основы конструирования и расчета деталей и сборочных единиц общего назначения.

Дисциплина «Техническая механика» является обще профессиональной, обеспечивающей базовые знания при усвоении специальных дисциплин, изучаемых в дальнейшем.

Задачи теоретической механики

Аксиомы статики В результате обобщения человеческого опыта были установлены общие закономерности механического движения, выраженные в виде законов и теорем. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений. Эти положения называют аксиомами статики. Первая аксиома Под действием уравновешенной системы сил абсолютно твердое тело или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно (закон инерции). Следствие из второй и третьей аксиом Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия

Жесткий стержень На схемах стержни изображают толстой сплошной линией Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи. Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.

Тела 1 и 2 находятся в равновесии. Можно ли убрать действующие системы сил, если тела абсолютно твердые? Что изменится, если тела реальные, деформируемые?

Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей геометрическим способом Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил. Уметь определять равнодействующую, решать задачи на равновесие в геометрической форме.

Плоская система сходящихся сил Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся

Порядок построения многоугольника сил Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора со впадал с началом последующего. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.

Плоская система сходящихся сил.

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси. Складываем проекции всех векторов на оси х и у.

Пара сил и момент силы относительно точки Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил. Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему

Равновесие пар. Какую силу необходимо приложить в точке С, чтобы алгебраическая сумма моментов относительно точки О была равна нулю?

Плоская система произвольно расположенных сил Иметь представление о главном векторе, главном моменте, равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил.

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку — точку приведения. Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом: Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления Виды нагрузок и разновидности опор Виды нагрузок Шарнирно-подвижная опора Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Шарнирно-неподвижная опора Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.

Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение

Контрольные вопросы и задания

Пространственная система сил — система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Момент силы относительно оси

Вектор в пространстве В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю Модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил можно определить аналитически, использовав метод проекций. Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и суммируем соответствующие проекции. Получим проекции равнодействующей на оси координат:

Произвольная пространственная система сил Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы Мгл (главный момент).

Центр тяжести Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести. Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур. Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли. Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Центр тяжести однородных плоских тел (плоских фигур) Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А — площадь фигуры, h — ее высота.

Основные кинематические параметры Траектория Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией. Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией.

Ускорение точки Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки. Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различных видах движения точки.

Анализ видов и кинетических параметров движений

Равномерное движение Равнопеременное движение это движение с постоянным касательным ускорением:

Поступательное движение Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению

Частные случаи вращательного движения

Равномерное вращение ( угловая скорость постоянна):

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Основные понятия и аксиомы динамики.

Понятие о трении Иметь представление о массе тела и ускорении свободного падения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.

Содержание и задачи динамики Первая аксиома (принцип инерции) Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния. Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила. Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела. Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы — килограмм (кг). Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики). Четвертая аксиома (закон независимости действия сил) Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна. Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности

Понятие о трении. Виды трения

Скорость взаимного перемещения.

Трение качения

Метод кинетостатики

Свободная и несвободная точки

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера) Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям). Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.

Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная величина.

Рассмотрим частные случаи. Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения

Работа и мощность.

Коэффициент полезного действия Иметь представление о мощности при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, коэффициенте полезного действия.

Мощность Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности. Мощность — работа, выполненная в единицу времени:

Мощность силы при вращении равна произведению вращающего момента на среднюю угловую скорость.Если при выполнении работы усилие машины и скорость движения меняются, можно определить мощность в любой момент времени, зная значения усилия и скорости в данный момент.

Сопротивление материалов Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях.

Основные требования к деталям и конструкциям и виды расчетов в сопротивлении материалов

Механические свойства материалов Прочность — способность не разрушаться под нагрузкой. Жесткость — способность незначительно деформироваться под нагрузкой. Выносливость — способность длительное время выдерживать временные нагрузки. Устойчивость — способность сохранять первоначальную форму упругого равновесия. Вязкость — способность воспринимать ударные нагрузки.

Характер деформации легко проследить при испытании материалов на растяжение.

Статистические нагрузки не меняются со временем или меняются очень медленно. При действии статистических нагрузок проводится расчет на прочность.

Повторно-переменные нагрузки многократно меняют значение или значение и знак. Действие таких нагрузок вызывает усталость металла.

Формы элементов конструкции

Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.

Внешние силы должны быть определены методами теоретической механики, а внутренние определяются основным методом сопротивления материалов - методом сечений.

Полученные составляющие сил упругости носят название внутренних силовых факторов. Каждый из внутренних силовых факторов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние силовые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу детали внешние силы. Используя шесть уравнений равновесия, можно получить величину внутренних силовых факторов:

Напряжения Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочности необходимо определить величину силы, приходящуюся на любую точку поперечного сечения. Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют механическим напряжением. Напряжение характеризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу площади поперечного сечения.

Что в сопротивлении материалов называют внутренними силовыми факторами?

Растяжение и сжатие Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила.

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса. Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные - вверх, отрицательные - вниз.

Напряжения при растяжении и сжатии При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади. Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по формуле

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения площади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

Деформации при растяжении и сжатии Связь между продольной и поперечной деформациями зависит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается через продольную. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа). При выборе материалов для элементов конструкции и расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики. Необходимые сведения получают экспериментально при испытаниях на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб.

Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие Характеристики пластичности определяют способность матерала к деформированию

Предельные и допустимые напряжения

Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная деформация). Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести, т. к. возникающие пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки: Допускаемое напряжение — максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать. Допускаемые напряжения получают по предельным с учетом запаса прочности:

Особенности поведения материалов при испытания: на сжатие Пластичные материалы практически одинаково работают при растяжении и сжатии. Механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковы. Хрупкие материалы обычно обладают большей прочностью при сжатии, чем при растяжении:

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии Практические расчеты на срез и смятие. Основные предпосылки расчетов и расчетные формулы Иметь представление об основных предпосылках и условностях расчетов о деталях, работающих на срез и смятие. Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) работают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор — поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.

Смятие Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия

Геометрические характеристики плоских сечений Статический момент площади сечения Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по величине и имеют разный знак. Следовательно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю. Статический момент используется при определении положения центра тяжести сечения:

Осевые моменты инерции Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называетсявзятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки: Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции круга и кольца

Моменты инерции относительно параллельных осей Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади

Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении. Построение эпюр крутящих моментов Иметь представление о деформациях при кручении, о внутренних силовых факторах при кручении.

Деформации при кручении Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей Поперечные сечения разворачиваются на угол ip, называемый углом закручивания

Внутренние силовые факторы при кручении

Примеры решения задач Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих моментов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.

Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.

Виды расчетов на прочность Существует два вида расчета на прочность

Проектировочный расчет —определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивали; [φо] = 0,02 рад/м; модуль упругости при сдвиге G= 0,8 • 105 МПа.

Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение гак, чтобы число заканчивалось на 5 или 0.

Изгиб. Классификация видов изгиба. Внутренние силовые факторы при изгибе Внутренние силовые факторы при изгибе

Принятые в машиностроении знаки поперечных сил и изгибающих моментов

Знаки поперечных сил

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Используем известные правила:

- поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Оу;

- изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох;

- принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов

Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается прежним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений максимальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховываются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

Правила построения эпюр Пример . На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты . Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению . Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений. Для этого используют известные связи между поперечной силок и изгибающим моментом и правила построения эпюр.

Расчеты на прочность Деформации при чистом изгибе

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

Рациональные сечения при изгибе

Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним моменты сопротивления простейших сечений. Расчет на прочность при изгибе

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.

Сочетание основных деформаций.

Гипотезы прочности Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Точку принято изображать в виде маленького элемента в форме параллелепипеда

Понятие о сложном деформированном состоянии

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением

В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кручения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возникают на поверхности. Расчет следует вести по теории прочности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным простым.

Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

Особенность расчета валов

Расчет на устойчивость Расчет по формуле Эйлера Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответствующее критической силе. На рис. 36.4 представлена зависимость критического напряжения от гибкости стержня.

Сопротивление усталости Характерный вид усталостных разрушений — трещины и часть поверхности блестящая в изломе.

Факторы, влияющие на сопротивление усталости Концентрация напряжений. В местах, где имеются резкие изменения размеров, отверстия, резьба, острые углы, возникают большие местные напряжения (концентрация напряжений). В этих местах возникают усталостные трещины, трещины разрастаются, и эо приводит к разрушению детали.